[고등(하)] 합성함수 - 조건에 맞는 함수 갯수

고등(하) 함수 단원에 있는 합성함수 문제입니다.
한 번 도전해 보세요. ^^

A = { 1, 2, 3 }에 대해서
A → A에서 정의된 함수 f(x)가 있다.
임의의 원소 x에 대해서
f(f(x)) = f(x)인 함수 f의 개수는?

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반응형

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f(f(x)) = f(x)를 보고
함수의 이해가 부족한 학생들은

좌변과 우변이 같으므로
빨간 줄을 친 부분인
f(x)와 x가 같다고 생각할 것입니다.

그러나 함수에서 함숫값이 같다고 해서
그 입력값이 같은 경우는
일대일 함수와 일대일 대응에서만 성립하죠.

이 문제에서 f(x)가
일대일함수라거나 일대일 대응이라는
말이 없으므로
위와 같이 섣불리 판단해서는 안됩니다.

이 경우 x에 어떤 값을 넣었을 때,
함숫값들이 어떤 관계가 있는지 살펴봐야 합니다.

그럼 x에 a를 넣어볼까요?
f(f(x)) = f(x)에 x = a를 대입해 보면
f(f(a))=f(a)
자 이제 f(a)가 어떤 값을 가지는지 생각해 볼까요.

f(a) = a 일 때(어떤 값을 대입하면 그 값이 나올 때)와
f(a) = b 일 때(어떤 값을 대입하면 다른 값이 나올 때)로
나눠서 생각해 봅시다.

1) f(a) = a라면 f(f(a))=f(a)는 성립합니다.

2) f(a) = b라면 f(f(a))=f(a)를 만족하기 위해
     f(b) = b 이어야 합니다.

정리해 보면
a라는 값을 함수 f에 넣어서 a가 나오면 o.k
근데 a를 f에 넣어서 a가 아닌 b가 나오면
그 b는 f에 넣어서 반드시 b가 나와야 함.

자 이제 A = { 1, 2, 3 }에서 생각해 보면

f(1) = 1 이면 o.k
이때 f(2) = 1 이면 f(1) = 1이었으므로 o.k
이때 f(3) = 1 이면 f(1) = 1이었으므로 o.k

f(1) = 1 이면 o.k
이때 f(2) = 1 이면 f(1) = 1이었으므로 o.k
이때 f(3) = 2 이면 f(2) = 2이어야 하는데
f(2) = 1이므로 안됨.

이런 식으로 따져서 수형도를 그려보면

위의 수형도에서 보듯이
10개의 함수를 찾을 수 있었습니다.

여러분들도 함수를 정확히 이해하고
생각을 하나씩 차분히 해나간다면
쉽게 해결할 수 있을 겁니다. ^^

모두모두 화이팅!
앞으로 더 재밌게 수학공부 하세요!

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