순열과 조합 - 대진표

아래와 같은 대진표 문제가 있습니다. 도전해 보실까요? 화이팅!

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대진표 문제는 대진표를 어떻게 푸는가가 중요하다기 보다

우리가 경우의 수 문제를 풀 때

내가 선택하는 순간에

구분이 되는 것과 그렇지 못한 것을 구별하는 기준이 있는가를 묻는 것입니다.

예를 들어 6명을 2명과 4명으로 두 팀을 만든다고 하면

1. 6명 중에 2명을 골라 한 팀을 만들고, 나머지 4명으로 한 팀을 만들면 됩니다.

이를 식으로 6C2 = 15가지가 됩니다.

2명인 팀과 4명인 팀이 구분이 되기때문에

6명 중 2명을 고르기만 하면 알아서 팀이 결정이 되는 겁니다.

 

하지만, 3명씩 두 팀으로 나눈다고 하면 어떨까요?

6명 중 3명을 고른다고 생각하면 쉬울 것 같지만,

6명 중 3명을 골라서 어떤 팀이라고 할 것인지?

그리고 6명 중 3명을 고르면 (A, B, C)......(D, E, F) 이렇게 생각할 수 있습니다.

하지만 전체를 생각해보면

(A, B, C)와 (D, E, F)

...

(D, E, F)와 (A, B, C)

가 되어 같은 경우를 다른 것처럼 세고 있는 겁니다.

이는 두 팀이 구분이 되지 않는 상황에서

무턱대고 3명을 고르기만 했지,

그 3명이 어느 팀으로 가는 지는 생각하지 않아서 발생하는 오류입니다.

구분이 될 때는 그냥 구분이 것에 경우를 골라주면 끝이지만,

구분이 되지 않는 경우에는 구분을 만들어줄 필요가 있습니다.

자, 다시

6명을 3명씩 두 팀으로 나누기로 한다고 했습니다.

현재 두 팀이 구분이 안됩니다.

그럼, 생각해 봅시다...

6명 중 아무나 먼저 세웁니다.

A, B, C, D, E, F 상관없습니다.

이 때는 경우가 발생하지 않습니다.

그럼 이제

A가 있는 팀과 A가 없는 팀으로 구분 할 수 있습니다.

그럼 이제 남은 5명 중에서

A와 같은 팀이 될 2명을 고르면 됩니다. 나머지는 다른 팀으로

그럼 5C2 = 10가지

항상 경우를 셀 때는 현재 시점에서 구분이 되는가 안되는 가를 판단해야 합니다.

구분이 되면 그냥 하면 되고, 안되면 구분이 되게 만들면 됩니다.

또 다시..이제 대진표로 돌아가서

 

대진표는 위에서 부터 아래로 내려가는 것이 편합니다.

제일 위에 보면 5명과 4명으로 나뉘는 것을 알 수 있습니다.

그럼 9명 중에서 5명을 골라 왼쪽에, 나머지는 오른쪽에 9C5

5명인 쪽으로 내려가보면 3명과 2명으로 나뉩니다.

그럼 5명 중에서 3명을 골라 왼쪽에 나머지는 오른쪽에 5C3

3명인 쪽으로 내려가 보면 1명과 2명으로 나뉩니다.

그럼 3명 중 1명으로 골라 왼쪽에 나머지는 오른쪽에 3C1

이제 우측에 4명인 대진표로 가봅시다.

2명과 2명으로 나눠야 합니다.

앞의 5명이 있는 쪽 대진표는 인원이 달라 구분이 되었는데

오른쪽 4명이 있는 대진표는 2명 2명이 구분이 안되죠?

그럼 앞에 설명했듯이

아무나 한명을 아무곳에나 배치합니다.

어딜 들어가든 상관이 없으므로 경우의 수는 발생하지 않습니다.

편의상 A라고 하겠습니다.

그럼 이제 A의 짝을 남은 3명 중에 1명 고르며 되겠죠?

그럼 대진표가 완성되었네요.

이제 하나의 식으로 써볼까요?

9C5 X 5C3 X 3C1 X 3C1 = 126 X 10 X 3 X 3 = 11340

단순히 방법을 기억하려 하지말고,

왜 이런 방법을 생각하게 되었는지?

어디서 부터 어떤 필요에 의해서 생각이 완성되었는지

그 생각의 시초를 찾아가보려고 노력해보시기 바랍니다.

 

우리가 수학을 공부하는 이유는

똑똑해지기 위해서이니까요.

모두 깊이 생각하는 힘을 길러

재밌게 수학을 공부합시다.