[중1-1] 공배수와 최소공배수, 최소공배수 구하기

4와 6의 공배수를 구할 수 있는가?

같은 방식으로

660과 252의 공배수를 모두 구할 수 있는가?

공배수가 없는 경우가 있을까?

여러 개의 수의 공배수가 가장 작으면?

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아래로 쭈욱~~~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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4와 6의 공배수를 구하라고 하면

대부분 아래와 같이

직접 배수를 구하고,

그중에서 공통인 배수를 찾음.

​

4의 배수 = 4, 8, 12, 16, 20, 24...

6의 배수 = 6, 12, 18, 24,...

​

4와 6의 공배수 = 12, 24,...

4와 6의 최소공배수 = 12

​

그런데,

660과 252의 공배수를

위와 같은 방법으로 찾는다면 휴~~

660의 배수 = 660, 1320,...

252의 배수 = 252, 504,...

​

언제 같은 수가 나올지? ㅠㅠ

​

660의 배수를 찾는데

저렇게 하나하나 찾는 것도 쉽지 않은데

그 수가 252의 배수인지는 또 어떻게 알지?

이런 접근은 비효율!

​

그 수들이 어떤 수들의 곱으로 이뤄져 있는지

안다면 바로 알 수 있지 않나?

​

660과 252를 이루고 있는 수들을 알면

어떤 수가 두 수의 공배수인지 아닌지

바로 알 수 있음.

그래서 배운 것이 소인수분해!

​

​

예를 들어보자

다음 A, B, C라는 세 수가 있다고 해보자.

660이나 252는 2가 두 번씩 곱해져 있는데,

A는 2가 한 번만 곱해져 있어서

660과 252에 어떤 수를 곱해서 A가 될 수 없다.

즉, A는 660과 252의 배수일 수 없다.

​

660은 3이 한 번 곱해져 있고,

252는 3이 두 번 곱해져 있는데

B는 3이 한 번 곱해져 있어서

660의 배수는 되지만, 252가 배수는 안됨.

B는 660과 252의 공배수가 아니다.

​

C는 660에 11을 곱한 수이므로 660의 배수

하지만 252에는 3이 두 번, 7이 한 번 곱해져 있지만

C에는 3이 한 번 곱해져 있고,

7이 곱해져 있지 않으므로 252의 배수가 아님.

즉, C도 660과 252의 공배수가 아님.

​

이렇듯, 수가 소인수분해가 되어있으면

공배수인지 아닌지 바로 알 수 있음.

​

또한, 위의 소인수분해를 한 것을 보면

660과 252의 공배수는

2는 최소한 2번은 곱해져있어야 하고,

3도 최소 2번,

5, 7, 11은 최소 1번씩 곱해져 있어야 한다.

물론 다른 수들도 곱해져 있어도 됨.

​

이것을 식으로 써보면

위이 결론에서 알 수 있듯이

여러 수의 공배수는 최소공배수의 배수!

​

위와 같은 사실에서 보면

쉽게 공배수를 구하려면

1. 소인수분해를 한다.
2. 최소공배수를 찾는다.
3. 최소공배수의 배수를 찾는다.

​

공배수가 없는 경우가 있을까?

결론부터 말하면

그런 경우는 없다.

​

두 수를 소인수분해를 했더니

서로 소인수가 하나도 안 겹친다?

이런 경우를 서로소라고 했음.

위의 결론을 보면 알 수 있듯이

A와 B가 서로소이면,

A와 B의 최소공배수는 두 수를 곱한 것과 같음.

​

어떤 경우라도 최소공배수는 존재하고,

공배수도 당연히 존재함.

 

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